Complex numbers, Probability, Statistics

I. Комплексни числа

complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/комплексно число е число от вида z = a + bi, където a и b са реални, а imaginary unit/ɪˈmædʒɪnəri ˈjuːnɪt/имагинерна единица удовлетворява i² = −1. Множеството на всички такива числа се бележи с ℂ.

Реалните числа са частен случай: ако b = 0, то z = a е реално. Ако a = 0 и b ≠ 0, числото е чисто имагинерно. Всяко квадратно уравнение има решение в ℂ.

Защо е нужно i? Уравнението x² + 1 = 0 няма реален корен, защото квадрат на реално число не е отрицателен. С i получаваме x = ±i.

1. Стандартен вид и равнина

При z = a + bi: real part/rɪəl pɑːt/реална част е Re(z) = a, imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/имагинерна част е Im(z) = b (самото реално число b, без i).

Две комплексни числа са равни точно когато реалните им части съвпадат и имагинерните им части съвпадат.

Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/диаграма на Арган

Степени на i
Степен	Стойност
`i⁰`	`1`
`i¹`	`i`
`i²`	`−1`
`i³`	`−i`
`i⁴`	`1`

Цикълът се повтаря през 4: iⁿ = i^(n mod 4).

2. Операции

Нека z₁ = a + bi и z₂ = c + di.

Правила за смятане
Операция	Формула	Геометричен смисъл
addition/əˈdɪʃn/събиране	`(a+c) + (b+d)i`	събиране на вектори (правило на успоредника)
subtraction/səbˈtrækʃn/изваждане	`(a−c) + (b−d)i`	вектор от z₂ към z₁
multiplication/ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃn/умножение	`(ac−bd) + (ad+bc)i`	модулите се умножават, ъглите се събират
division/dɪˈvɪʒn/деление	умножава се числителят и знаменателят със спрегнатото на знаменателя	модулите се делят, ъглите се изваждат

z₁ / z₂ = [(ac + bd) + (bc − ad)i] / (c² + d²), z₂ ≠ 0

complex conjugate/ˈkɒmpleks ˈkɒndʒəɡət/комплексно спрегнато на z = a + bi е z̅ = a − bi. Огледално отражение спрямо реалната ос.

z + z̅ = 2a (реално)
z − z̅ = 2bi (чисто имагинерно)
z · z̅ = a² + b² = |z|²
(z̅)̅ = z

modulus/ˈmɒdjʊləs/модул (абсолютна стойност): |z| = √(a² + b²). Това е разстоянието от началото до точката z.

|z₁ z₂| = |z₁| |z₂| |z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂| |z̅| = |z|

3. Полярен и показателен вид

argument/ˈɑːɡjumənt/аргумент е ъгълът θ от положителната реална полуос до лъча към z. Обикновено се взема главната стойност в (−π, π] или [0, 2π).

polar form/ˈpəʊlə fɔːm/тригонометричен / полярен вид:

z = r (cos θ + i sin θ), r = |z|, θ = arg(z)

exponential form/ˌekspəˈnenʃl fɔːm/показателен вид по формулата на Ойлер:

e^iθ = cos θ + i sin θ ⇒ z = r e^iθ

Умножение и деление в полярен вид
Действие	Модул	Аргумент
z₁ z₂	r₁ r₂	θ₁ + θ₂
z₁ / z₂	r₁ / r₂	θ₁ − θ₂
1 / z	1 / r	−θ

4. Теорема на Моавър и корени

De Moivre's theorem/də ˈmwɑːvrəz ˈθɪərəm/теорема на Моавър:

[r (cos θ + i sin θ)]ⁿ = rⁿ (cos nθ + i sin nθ)

За n-ти корен има точно n различни стойности:

z_k = ⁿ√r [ cos((θ + 2πk)/n) + i sin((θ + 2πk)/n) ], k = 0, 1, …, n−1

Корените лежат на окръжност с радиус ⁿ√r и са върхове на правилен n-ъгълник.

Пример: (1 + i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i. В полярен вид 1 + i = √2 (cos 45° + i sin 45°), квадратът е 2 (cos 90° + i sin 90°) = 2i.

II. Теория на вероятностите

probability/ˌprɒbəˈbɪləti/вероятност измерва колко е правдоподобно да настъпи дадено събитие. Стойността е число от 0 до 1 (или от 0% до 100%).

Основен речник на опита
Термин	Значение	Пример: зар
experiment/ɪkˈsperɪmənt/опит	действие с неопределен изход	хвърляне на зар
outcome/ˈaʊtkʌm/изход	един възможен резултат	падна се 4
sample space/ˈsɑːmpl speɪs/пространство на елементарните събития	множество от всички изходи Ω	{1,2,3,4,5,6}
event/ɪˈvent/събитие	подмножество на Ω	четно: {2,4,6}

Класическа вероятност (равни шансове): P(A) = n(A) / n(Ω). За зара P(четно) = 3/6 = 1/2.

5. Аксиоми и правила

Аксиомите на Колмогоров: probability axioms/ˌprɒbəˈbɪləti ˈæksiəmz/аксиоми на вероятността

P(A) ≥ 0 за всяко събитие A
P(Ω) = 1 — достоверно събитие
Ако A и B са несъвместими, P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Следствия
Име	Формула
impossible event/ɪmˈpɒsəbl ɪˈvent/невъзможно събитие	`P(∅) = 0`
complementary event/ˌkɒmplɪˈmentəri ɪˈvent/противоположно събитие	`P(A′) = 1 − P(A)`
общо събиране	`P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)`
mutually exclusive/ˈmjuːtʃuəli ɪkˈskluːsɪv/несъвместими	`A ∩ B = ∅`, тогава събирането е без изваждане на сечението
independent events/ˌɪndɪˈpendənt ɪˈvents/независими събития	`P(A ∩ B) = P(A) P(B)`

P(A ∪ B) брои припокриването само веднъж

Пример: P(ас) = 1/6, P(четно) = 1/2, сечението е {2} с вероятност 1/6, ако „ас“ значи 1 — тогава сечението е празно. Ако A = {2,4,6}, B = {4,5,6}, то P(A ∪ B) = 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6.

6. Условна вероятност и Бейс

conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪləti/условна вероятност е вероятността на A, ако вече знаем, че B е настъпило:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) > 0

Bayes' theorem/beɪz ˈθɪərəm/теорема на Бейс обръща посоката на условието:

P(A | B) = P(B | A) P(A) / P(B)

Пълна вероятност, ако A и A′ образуват разбиване:

P(B) = P(B | A) P(A) + P(B | A′) P(A′)

Дърво: първо A, после B при дадено A

random variable/ˈrændəm ˈveəriəbl/случайна величина X съпоставя число на всеки изход.

expected value/ik-SPEK-tid VAL-yoo/математическо очакване за дискретна величина: E(X) = sum x P(X = x).

Биномно разпределение: n независими опита с успех p,

P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^n−k

7. Комбинаторика за вероятности

Брой начини
Понятие	Формула	Кога
factorial/fækˈtɔːriəl/факториел	`n! = 1·2·…·n`, `0! = 1`	пермутации на n различни предмета
permutation/ˌpɜːmjuˈteɪʃn/пермутация / вариация	`P(n, k) = n! / (n − k)!`	редът има значение
combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn/комбинация	`C(n, k) = n! / (k! (n − k)!)`	редът няма значение

Пример: от колода 52 карти, броят на 5-картови ръце е C(52, 5) = 2 598 960.

III. Статистика

statistics/stəˈtɪstɪks/статистика събира, описва и тълкува данни. descriptive statistics/dɪˈskrɪptɪv stəˈtɪstɪks/описателна статистика обобщава извадката. inferential statistics/ɪnˈferənʃl stəˈtɪstɪks/заключителна статистика прави изводи за цялата съвкупност.

Съвкупност и извадка
Понятие	Определение	Пример
population/ˌpɒpjuˈleɪʃn/генерална съвкупност	всички обекти, които ни интересуват	всички ученици в училището
sample/ˈsɑːmpl/извадка	подмножество, което реално измерваме	30 случайно избрани ученици
parameter/pəˈræmɪtə/параметър	число за цялата съвкупност (μ, σ)	среден ръст на всички
statistic/stəˈtɪstɪk/статистика (оценка)	число, сметнато от извадката (x̄, s)	среден ръст на 30-те

8. Мерки за център

За данни x₁, x₂, …, xₙ:

Средни характеристики
Мярка	Как се смята	Кога е подходяща
mean/miːn/средно аритметично	`x̄ = (Σ xᵢ) / n`	симетрични данни без екстремуми
median/ˈmiːdiən/медиана	средната стойност след подреждане	има изкривяване или outliers
mode/məʊd/мода	най-честата стойност	категорийни данни; може да няма или да има няколко

За 2, 5, 5, 7, 18: mean = 7.4, median = 5, mode = 5. Медианата не се дърпа от 18.

9. Мерки за разсейване

Колко са разпръснати данните
Мярка	Формула / правило
range/reɪndʒ/размах	`max − min`
variance/ˈveəriəns/дисперсия	извадкова: `s² = Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1)`; генерална: `σ² = Σ(xᵢ − μ)² / N`
standard deviation/ˈstændəd ˌdiːviˈeɪʃn/стандартно отклонение	`s = √s²` — в същите единици като данните
quartile/ˈkwɔːtaɪl/квартил	Q1 (25%), Q2 = median (50%), Q3 (75%)
IQR	`Q3 − Q1` — средните 50%
outlier/ˈaʊtlaɪə/извънредна стойност	често: под Q1 − 1.5·IQR или над Q3 + 1.5·IQR

Делим на n − 1 при извадка, за да не подценяваме разсейването в съвкупността (корекция на Бесел).

10. Графики и нормално разпределение

histogram/ˈhɪstəɡræm/хистограма — честоти по интервали

normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/нормално разпределение

Правило 68–95–99.7 за нормално разпределение
Интервал	Приблизителен дял
μ ± 1σ	около 68%
μ ± 2σ	около 95%
μ ± 3σ	около 99.7%

box plot/bɒks plɒt/диаграма тип „кутия с мустаци“ показва min / Q1 / median / Q3 / max и outliers.

correlation/ˌkɒrəˈleɪʃn/корелация мери линейна връзка между два числови признака, но не доказва причина (correlation is not causation).

Практика: комплексни числа

Промени реалната и имагинерната част. Равнината показва z1, z2 и сбора. Резултатите вдясно се обновяват веднага.

Re(z1) Im(z1) Re(z2) Im(z2)

Argand diagram · z1, z2 и z1+z2

Практика: вероятности

Кликни стените на зара, които броиш за благоприятни. После задай P(A), P(B) и P(A ∩ B), както и биномен опит.

Благоприятни стени на зар:

P(A) P(B) P(A ∩ B) binomial n binomial k binomial p

Практика: статистика

Въведи числа, разделени със запетая или интервал. Пресмятат се център, разсейване, хистограма и box plot.

Данни

histogram

box plot · Q1, медиана, Q3

Речник с изговаряне

IPA плюс опростена транскрипция с ударение. Кликни високоговорителя за английското произношение.

complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə//KOM-pleks NUM-ber/комплексно число imaginary unit/ɪˈmædʒɪnəri ˈjuːnɪt//ih-MAJ-in-uh-ree YOO-nit/имагинерна единица real part/rɪəl pɑːt//REEL part/реална част imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt//ih-MAJ-in-uh-ree part/имагинерна част complex plane/ˈkɒmpleks pleɪn//KOM-pleks playn/комплексна равнина Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm//AR-gand DY-uh-gram/диаграма на Арган complex conjugate/ˈkɒndʒəɡət//KON-juh-guht/спрегнато modulus/ˈmɒdjʊləs//MOD-yuh-luhs/модул argument/ˈɑːɡjumənt//AR-gyoo-muhnt/аргумент polar form/ˈpəʊlə fɔːm//POH-luh form/полярен вид exponential form/ˌekspəˈnenʃl fɔːm//ek-spuh-NEN-shuhl form/показателен вид De Moivre's theorem/də ˈmwɑːvrəz ˈθɪərəm//duh MWAH-vruhz THEE-uh-ruhm/теорема на Моавър probability/ˌprɒbəˈbɪləti//prob-uh-BIL-uh-tee/вероятност sample space/ˈsɑːmpl speɪs//SAM-puhl spays/пространство Ω event/ɪˈvent//ih-VENT/събитие conditional probability/kənˈdɪʃənl//kuhn-DISH-uh-nuhl/условна вероятност Bayes' theorem/beɪz ˈθɪərəm//bayz THEE-uh-ruhm/теорема на Бейс independent events/ˌɪndɪˈpendənt//in-di-PEN-duhnt/независими събития random variable/ˈrændəm ˈveəriəbl//RAN-duhm VAIR-ee-uh-buhl/случайна величина expected value/ɪkˈspektɪd ˈvæljuː//ik-SPEK-tid VAL-yoo/очакване combination/ˌkɒmbɪˈneɪʃn//kom-bi-NAY-shuhn/комбинация permutation/ˌpɜːmjuˈteɪʃn//per-myoo-TAY-shuhn/пермутация statistics/stəˈtɪstɪks//stuh-TIS-tiks/статистика population/ˌpɒpjuˈleɪʃn//pop-yuh-LAY-shuhn/съвкупност sample/ˈsɑːmpl//SAM-puhl/извадка mean/miːn//meen/средно аритметично median/ˈmiːdiən//MEE-dee-uhn/медиана mode/məʊd//mohd/мода variance/ˈveəriəns//VAIR-ee-uhns/дисперсия standard deviation/ˈstændəd ˌdiːviˈeɪʃn//STAN-derd dee-vee-AY-shuhn/стандартно отклонение histogram/ˈhɪstəɡræm//HIS-tuh-gram/хистограма box plot/bɒks plɒt//boks plot/box plot normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn//NOR-muhl dis-tri-BYOO-shuhn/нормално разпределение correlation/ˌkɒrəˈleɪʃn//kor-uh-LAY-shuhn/корелация

Комплексни числа, вероятности и статистика

I. Комплексни числа

1. Стандартен вид и равнина

2. Операции

3. Полярен и показателен вид

4. Теорема на Моавър и корени

II. Теория на вероятностите

5. Аксиоми и правила

6. Условна вероятност и Бейс

7. Комбинаторика за вероятности

III. Статистика

8. Мерки за център

9. Мерки за разсейване

10. Графики и нормално разпределение

Практика: комплексни числа

Практика: вероятности

Практика: статистика

Речник с изговаряне